1 свойство: Треугольник Паскаля бесконечен.     

2 свойство: Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.

3 свойство: Первая диагональ треугольника даёт треугольные числа.           

4 свойство: Вторая диагональ треугольника даёт треугольные числа.

5 свойство: Третья диагональ даёт тетраэдральные числа.

6 свойство: суммирование двух смежных треугольных чисел даёт идеальное квадратное   число.   

7 свойство: Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2 в степени n.

8 свойство: Каждая из строк треугольника может быть представлена степенью с основанием 11.

9 свойство: Треугольник содержит   шестиугольные числа.

10 свойство: Сумма чисел, стоящих на чётных местах равна сумме чисел, стоящих на нечетных местах.

11 свойство: Если номер строки треугольника простое число, кроме 1, то все числа строки делятся на это число.

12 свойство: Треугольник содержит числа Лукаса. (Последовательность Лукаса-  рекурсивная последовательность, связанная с числами Фибоначчи. Число Лукаса имеет особые свойства, связанные с простыми числами и золотым сечением. 

Число Люка можно найти в треугольнике Паскаля, выделив все остальные диагональные строки в треугольнике Паскаля, а затем суммируя числа в двух соседних диагональных   рядах.

Например:

( 1 + 3 + 1 ) + ( 1 + 5 + 6 + 1 ) = 18 

Числа Лукаса

2, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123

13 свойство: Сумма диагональных чисел даёт числа Фибоначчи​.

14 свойство:  Если стереть слева нулевую диагональ, то на сплошных («фибоначчиевых») диагоналях останутся числа, дающие частичные суммы ряда Фибоначчи (1 = 1, 1 + 1=2, 1 ++ 1+ 2=1+3 = 4, 1 + 1+ 2 + 3 = 3 + 4 = 7 и т. д.)

 

15 свойство: Если стереть нулевую и первую диагонали, то на диагоналях Фибоначчи останутся числа, дающие частичные суммы ряда частичных сумм (1 = 1, 1+2 = 3, 1+2 + 4 = 1 +6 = 7 и т. д.).

 

16 свойство: Если стереть k диагоналей, то на диагоналях Фибоначчи останутся k-кратно просуммированные частичные суммы частичных сумм.

 

17 свойство: Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.

 

18 свойство: Числа, стоящие по горизонтальным строкам треугольника Паскаля, — это биномиальные   коэффициенты.

19 свойство: Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

20 свойство: если в треугольнике   нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.

 

21 свойство: В треугольнике Паскаля узор хоккейной клюшки можно обнаружить, начав с  1, с каждой стороны и пройдя вниз по диагональному столбцу. В выбранной вами точке измените направление диагонали для последнего числа. На следующем изображении числа в зеленом цвете представляют собой сумму всех предыдущих чисел в диагональном столбце (синий).

Например:
1 + 3 + 6 = 101+3+6=10
1 + 6 + 231 + 56 = 841+6+231+56=84